Уравнение плоскости

Общее (каноническое) уравнение плоскости в пространстве имеет вид:

A*x+B*y+C*z+D=0.

Важно отметить, что коэффициенты A, B и C являются координатами вектора нормали к данной плоскости, т.е., n(A,B,C). Коэффициент D является показателем соотнешения плоскости и начало координат. Если плоскость проходит через начало координат, то D=0.

D=d*sqrt(A^2+B^2+C^2)

где d - расстояние от M(0,0,0) до данной плоскости.

Уравнение плоскости в пространстве по трём точкам

Если заданы три точки M1(x1,y1,x1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3), то вычисляется следующее уравнение, основанное на вычисление определителя третьего порядка:

|x-x1 x2-x1 x3-x1|
|y-y1 y2-y1 y3-y1|=0
|z-z1 z2-z1 z3-z1|

Уравнения прямой в пространстве

1. Уравнение прямой в виде двух пересекающихся плоскостей:

A1*x+B1*y+C1*z+D1=0,
A2*x+B2*y+C2*z+D2=0.

2. Каноническое уравнение прямой в пространстве:

(x-x1)/X=(y-y1)/Y=(z-z1)/Z,

где X=x2-x1, Y=y2-y1 и Z=z2-z1 также являются координатами перпендикулярного к данной прямой единичного вектора.

3. Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

x=x1+A*t,
y=y1+B*t,
z=z1+C*t.

Параметрическое уравнение исходит из канонического уравнения. Параметр t может принимать любое значение из области действительных чисел.

Пример. Найти координаты второй точки, отдаленной от данной точки M0(x0,y0,z0) плоскости на единицу расстояния вне данной плоскости.

Решение. Будем считать, что уранение плоскости определено, или по крайней мере известны коэффициенты A, B и C в уравнении плоскости. Тогда можем составить каноническое уравнение перпендикуляра к данную плоскость, проходящий через точки M0:

(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C=t

Далее, переходим на параметрический вид уравнение для прямой:

x=x0+A*t,
y=y0+B*t,
z=z0+C*t,

в котором x, y и z являются координатами искомой точки M(x,y,z). Параметр t выбирается из условие sqrt(x^2+y^2+z^2)=1.